기본 공식
완전제곱식
- (a±b)² = a² ± 2ab + b²
합차공식
- (a+b)(a-b) = a² - b²
일반공식
- (x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab
- (ax+b)(cx+d) = acx² + (ad+bc)x + bd
특수 공식
- x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2 (단, x ≠ 0)
- x² + 1/x² = (x - 1/x)² + 2 (단, x ≠ 0)
3차 공식
삼항 전개
- (x+a)(x+b)(x+c) = x³ + (a+b+c)x² + (ab+bc+ca)x + abc
- (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
3차 이항정리
- (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
- (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
합차의 세제곱
- (a+b)(a²-ab+b²) = a³ + b³
- (a-b)(a²+ab+b²) = a³ - b³
세 수의 세제곱
- (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) = a³ + b³ + c³ - 3abc
- ½(a+b+c){(a-b)² + (b-c)² + (c-a)²} = a³ + b³ + c³ - 3abc
4차 공식
4차 특수형
- (a²+ab+b²)(a²-ab+b²) = a⁴ + a²b² + b⁴
고급 공식
복소수 관련
복소수 곱셈
- (a+ib)(a-ib) = a² + b²
1의 세제곱근 ω 관련
- (a+b)(a+ωb)(a+ω²b) = a³ + b³
- (a-b)(a-ωb)(a-ω²b) = a³ - b³
- (a+ωb)(a+ω²b) = a² + b² - ab
- (a-ωb)(a-ω²b) = a² + b² + ab
특수 4차 공식
- (a²+√2ab+b²)(a²-√2ab+b²) = a⁴ + b⁴
- (a²+ab-b²)(a²-ab-b²) = a⁴ + b⁴ - 3(ab)²
- (a+ωb)(a+ω²b)(a-ωb)(a-ω²b) = a⁴ + b⁴ + (ab)²
복합 공식
세 수 관련
- (a+ωb+ω²c)(a+ω²b+ωc) = a² + b² + c² - (ab+ac+bc)
- (a+b+c)(a+ωb+ω²c)(a+ω²b+ωc) = a³ + b³ + c³ - 3abc
고차 전개
- (a+b+c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a+b)(b+c)(c+a)
네 수 관련
4차 대칭
- (a+b+c+d)(a+b-c-d)(a-b-c+d)(a-b+c-d) = a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ - 2((ab)² + (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)² + (cd)²) + 8abcd
순환 곱셈
- (a+b)(b+c)(c+a) = ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc
- (a+b+c)(ab+bc+ca) = ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc
대칭 합
- (a+b)(a+c) + (b+c)(b+a) + (c+a)(c+b) = a² + b² + c² + 3(ab+ac+bc)
4차 대칭 전개
- (a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c) = a⁴ + b⁴ + c⁴ - 2((ab)² + (ac)² + (bc)²)
복합 차분
- (a+b+c)³ - (a-b+c)(a+b-c)(a-b-c) = 4(ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c) + abc)
- (a+b+c+d)³ - (a+b-c-d)(a-b-c+d)(a-b+c-d) = 4(ab(a+b) + ac(a+c) + ad(a+d) + bc(b+c) + bd(b+d) + cd(c+d) + (abc+abd+acd+bcd))
고차 이항정리
4차
- (a+b)⁴ = a⁴ + b⁴ + 4ab(a²+b²) + 6a²b²
세 수의 고차
- (a+b+c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(ab(a+b) + ac(a+c) + bc(b+c)) + 6abc
- (a+b+c)⁴ = a⁴ + b⁴ + c⁴ + 4(ab(a²+b²) + ac(a²+c²) + bc(b²+c²)) + 6((ab)² + (ac)² + (bc)²) + 12(abc(a+b+c))
네 수의 고차
-
(a+b+c+d)³ = a³ + b³ + c³ + d³ + 3(ab(a+b) + ac(a+c) + ad(a+d) + bc(b+c) + bd(b+d) + cd(c+d)) + 6(abc+abd+acd+bcd)
-
(a+b+c+d)⁴
- = a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ + 4(ab(a²+b²) + ac(a²+c²) + ad(a²+d²) + bc(b²+c²) + bd(b²+d²) + cd(c²+d²)) + 6((ab)² + (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)² + (cd)²) + 12(abc(a+b+c) + abd(a+b+d) + acd(a+c+d) + bcd(b+c+d)) + 24abcd
- = a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ + 4(a+b+c)(a+b+d)(a+c+d)(b+c+d) - 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)²
5차 (기호 표기법 사용)
- (a+b+c+d+e)⁵ = a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ + e⁵ + 5(a+b+c+d)(a+b+c+e)(a+b+d+e)(a+c+d+e)(b+c+d+e) - 5AB² + 5BC
6차 (기호 표기법 사용)
- (a+b+c+d+e+f)⁶ = a⁶ + b⁶ + c⁶ + d⁶ + e⁶ + f⁶ + 6(A-a)(A-b)(A-c)(A-d)(A-e)(A-f) - 9A²B² + 2B³ + 12ABC - 3C² - 6BD
복잡한 곱셈
- (a+b)(a+c)(a+d)(b+c)(b+d)(c+d) + (ab+cd)(ac+bd)(ad+bc) = B(abc(a+b+c) + abd(a+b+d) + acd(a+c+d) + bcd(b+c+d))
기호
- ω: 1의 세제곱근 중 하나 (ω³ = 1, ω ≠ 1인 복소수)
- i: 허수 단위 (i² = -1)
- A, B, C, D: 대칭다항식 표기법
- A = a+b+c+d+e+f
- B = ab+ac+ad+…+ef (모든 2항 곱의 합)
- C = abc+abd+…+def (모든 3항 곱의 합)
- D = abcd+abce+…+cdef (모든 4항 곱의 합)