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태그: 수학

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선사시대와 여러나라

선사 시대 구석기 시대 주먹도끼, 찍개 등의 뗀석기를 처음 제작하였다 주로 동굴이나 강가의 막집에서 살았다 대표 유적지로 연천 전곡리 유적지가 있다 공주 석장리 유적, 청원 두루봉 동굴, 단양 금굴 등 신석기 시대 가락바퀴와 뼈바늘을 이용하여 옷을 만들기 시작하였다 농경과 목축을 시작하여 식량을 생산하였다 빗살무늬 토기를 만들어 식량을 저장하였다 움집 생활(원형, 중앙 화덕), 원시 신앙 발생 간석기(갈돌과 갈판) 사용 대표 유적지로 서울 암사동 선사유적지, 제주 고산리 유적, 부산 동삼동 유적, 양양 오산리 유적이 있다 청동기 시대 사유재산과 계급이 발생하였다 반달돌칼을 사용하여 벼를 수확하였다 지배층의 무덤으로 고인돌을 축조하였다 비파형 동검과 민무늬 토기, 청동 거울 등을 제작하였다 청동 방울

흥선대원군의 개혁 정책 비변사 혁파, 삼군부 부활 사창제(환곡 문제 해결) 호포제(양반에게도 군포 징수) 서원 철폐 경복궁 중건 비용 마련을 위해 당백전이 발행되었다 대전회통(법전) 편찬 병인양요(1866) 병인박해 → 프랑스 군 강화도 침략 양헌수 정족산성 전투, 한성근 문수산성 전투 의궤를 비롯한 외규장각 도서가 약탈당하였다 신미양요(1871) 제너럴 셔먼호가 통상 요구: 대동강 유역에서 좌초 오페르트 도굴 사건: 남연군(흥선대원군 아버지) 묘 도굴 시도 미군의 강화도 침략: 어재연 광성보 전투에서 전사 병인양요 &x26; 신미양요 이후 종로를 비롯한 전국 각지에 척화비 건립 개항과 불평등 조약 체결 강화도 조약(조일수호조규, 1876) 운요호가 강화도와 영종도를 공격하였다 연무당에서 일본과

고구려 전성기 이전 (유리왕) 졸본에서 국내성으로 천도하였다 (고국천왕) 왕위 부자상속 확립, 을파소의 진대법 (동천왕) 관구검이 이끄는 군대가 환도성을 함락하였다 (미천왕) 낙랑군을 축출하여 영토를 확장하였다, 서안평 점령 (고국원왕) 백제가 평양성을 공격하여 고국원왕이 전사하였다 소수림왕 승려 순도를 통해 불교를 수용하였다 율령을 반포하였다 태학을 설립하여 인재를 양성하였다 전진에 사신을 파견하여 교류하였다 광개토왕 영락이라는 독자적인 연호를 사용하였다 신라가 왜를 격퇴하기 위해 고구려에 군사를 청하였다 장수왕 고구려가 국내성에서 평양으로 천도하였다 고구려왕 거련(장수왕)이 직접 군대를 거느리고 백제를 공격하였다 백제 개로왕 전사, 한강 정복 경당 설치(지방) 수·당 전쟁 을지문덕이 살수

고려 시대 구분 초기(918~1018년): 호족 세력, 태조 왕건, 거란 침입 문벌귀족(1018~1170년): 문벌 귀족, 이자겸의 난, 묘청의 난 무신집권기(1170~1270년): 무신, 정중부, 최씨정권, 몽골 항쟁 원 간섭기(1270~1351년): 권문세족, 정동행성, 공민왕 개혁 말기(1351~1392년): 신진사대부, 신흥무인, 홍건적, 왜구 고려 초기 태조 왕건 훈요 10조를 남겼다 정계와 계백료서를 지어 관리가 지켜야 할 규범을 제시하였다 개국 공신에게 역분전을 지급하였다 빈민 구제 기관인 흑창이 처음 설치되었다 기인 제도(지방 호족 자제를 수도에 머물게 함) 사심관 제도(출신 지역 관리를 사심관으로 임명하여 해당 지역을 통제하게 함) 태조가 선물 받은 낙타를 만부교에서 굶어 죽게 하였다

일제강점기

일제강점기 시대 구분 1910년대: 무단통치(헌병경찰통치), 회사령, 토지조사사업 1920~30년대 초반: 문화통치, 산미증식계획, 민족운동 1930년대 중반 이후: 민족말살정책, 국가총동원법, 황국신민화 1910년대 통치 무단통치 조선총독부가 일제의 조선 통치 기관으로 설치되었다 데라우치가 초대 총독으로 부임하였다 헌병이 일반 경찰 업무를 맡았다(헌병경찰통치) 조선인에게만 태형령을 내렸다 교사가 제복을 입고 칼을 찬 채 수업하였다 회사령 회사 설립을 허가제로 하는 회사령이 공포되었다 토지조사사업 기한 내에 소유지를 신고하게 하는 토지 조사령을 제정하였다 전국의 토지를 조사하였다 3·1 운동 배경 미국 대통령 윌슨의 민족 자결주의를 제창하였다 도쿄에서 2·8 독립선언이 발표되었다 고종의 인산

조선 전기 태조 이성계 위화도 회군으로 권력 장악(건국 전) 과전법 시행(건국 전) 조선 건국 주도 정도전: 불씨잡변을 지어 불교를 비판, 조선경국전 저술 태종 이방원 두 차례에 걸친 왕자의 난으로 즉위하였다 문하부를 폐지하고 낭사를 사간원으로 독립시켰다 왕권 강화를 위해 6조 직계제를 처음으로 실시하였다 저화 발행 양전 사업(토지 측량), 호패법 실시 세종 삼남 지방의 농법을 소개한 농사직설이 보급되었다 풍흉에 따라 9등급으로 전세를 거두었다(연분 9등법, 전분 6등법) 이종무가 왜구의 근거지인 쓰시마섬(대마도)을 정벌하였다 4군(최윤덕)과 6진(김종서)을 개척한 과정을 알아본다 계해약조 체결(일본과 교역), 삼포 개방(부산포, 염포, 제포) 집현전 훈민정음 반포 세조 계유정난을 계기로 김종서

한국사능력검정시험

1. 선사 문화와 국가의 형성 선사시대 구석기 동굴이나 막집, 주먹도끼, 슴베찌르개, 이동생활, 흥수아이(충북 두루봉 동굴) 신석기 모서리가 둥근 움집(화덕 중앙), 농경, 목축, 정착생활, 이른민무늬·빗살무늬토기 청동기 계급·재산, 고인돌, 직사각형 움집(화덕 한쪽 벽), 벼농사, 반달돌칼, 비파형동검 철기 세형동검, 철제농기구, 반량전, 명도전, 붓, 널무덤, 독무덤, 중국과의 교류 활발 연맹왕국 부여 사출도, 순장, 1책12법·형사취수제(고구려와 동일), 흰옷, 우제점복, 영고(12월) 부여엉고 고구려 제가회의, 상가·고추가·대로, 패자·사자·조의, 서옥제, 산악지대(약탈), 동맹(10월) 옥저 어물·소금(고구려에 공납), 민며느리제, 가족공동무덤,

광복과 정부 수립 광복 직후 여운형을 중심으로 조선 건국 동맹이 결성되었다 여운형이 중심이 되어 조선 건국 준비 위원회를 조직하였다 조선 건국 준비 위원회에서 조선 인민 공화국을 선포하였다 송진우, 김성수 등이 한국민주당을 창당하였다 좌우합작운동 좌우 합작 위원회에서 좌우 합작 7원칙을 발표하였다 남북 협상 김구, 김규식 등이 남북 협상에 참여하였다 제주 4·3 사건 남한만의 단독 선거에 반대하는 무장대와 이를 진압하는 토벌대 간의 무력 충돌이 발생하였다 여수·순천 10·19 사건이 일어났다 국가 차원에서 진상 조사 보고서를 발간하고 공식 사과하였다 진상 규명 및 희생자 명예 회복에 관한 특별법이 제정되었다 유네스코 세계 기록 유산으로 등재되었다 5·10 총선거 우리나라 최초의 보통 선거인

오일러 정리

오일러 피 함수 오일러 피 함수는 1~n 범위 중 n과 서로소인 숫자의 갯수를 구하는 함수이다. 1부터 6까지의 정수 중 6과 서로소인 수는 1, 5 두 개이므로 φ(6) = 2이다. 1부터 10까지의 정수는 모두 11과 서로소이고, 11은 자신과 서로소가 아니므로, φ(11) = 10이다. 1은 자기 자신과 서로소이므로, φ(1) = 1이다. 오일러 정리 오일러 정리는, 정수 a 및 양의 정수 n이 주어졌고 a와 n이 서로소일 때 아래 식이 성립한다는 내용이다. a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 페르마 소정리와 유사한 논리로 증명할 수 있다. n과 서로소인 1부터 n까지의 정수를 r₁, r₂, …, r_φ(n)이라 하자. 이들의 개수가 바로 φ(n)개이다. a가 n과 서로소일 때, ar₁, ar

유클리드 호제법

유클리드 호제법 두 정수 a를 b로 나눈 값을 아래처럼 표현하면 (a ≥ b) a = bq + r (단, 0 ≤ r &x3C; b) 다음 정리가 성립한다. (a, b) = (b, r) 즉, a와 b의 최대공약수는 b와 r의 최대공약수와 같다. 이 성질을 나머지가 0이 될 때까지 반복하면 마지막에 남는 0이 아닌 수가 gcd(a, b)이다. 예시 (1071, 1029)= (1029, 42)= (42, 21)= (21, 0)= 21 따라서 gcd(1071, 1029) = 21 증명 a,b ∈ Z 이고 a ≥ b 라 하자. 두 정수 a를 b로 나눈 값을 아래처럼 표현할 수 있다. a = bq + r, 0 ≤ r &x3C; b (a, b) = d 라고 하고, a = dα, b = dβ 라 해보

베주 항등식

ax + by = gcd(a, b)를 성립하는 x, y는 항상 존재한다. 집합 S = {ax + by 0 | x, y는 정수}를 가정했을 때 S는 공집합이 아니므로, y=0, x=1이면: a×1 + b×0 = a a가 양수면 그대로, 음수면 |a| (x=-1로 조정) 따라서 S는 최소한 하나의 원소를 가짐 S에 있는 가장 작은 원소를 d라고 불러볼 수 있다. a를 d로 나누면 몫 q와 나머지 r로 표현할 수 있을 것이다. a = dq + r (0 ≤ r &x3C; d) 여기서 만약 r이 0보다 크다면 r = a dq= a (as + bt)q= a(1-sq) + b(-tq) 이므로 r도 S의 원소라는 뜻인데, r &x3C; d이므로 d가 최소원소라는 것에 모순된다. 따라서 r = 0이어야

페르마 소정리

소수 m, 임의의 수 a에 대해 아래 식이 성립한다. a^(m-1) = 1 (mod m) 이 식을 활용해 역원을 구할 수 있다. a^(m-1) = a*a^(m-2) = 1 (mod m)즉, a^(m-2)가 a의 역원 증명 a와 서로소인 소수 p에 대해 a, 2a, 3a, …, (p−1)a인 p−1개의 수를 p로 나눴을 때 나오는 나머지는 모두 다르다. 귀류법으로 증명된다. 0&x3C;i&x3C;j&x3C;p인 정수에서 ia와 ja의 나머지가 같다고 하면 ia != ja (mod p)ja ia = 0 (mod p) 위 식이 성립하기 위해선, (j-i)a가 p로 나눠떨어져야 한다. a는 p와 서로소이므로 j-i가 p로 나눠떨어져야 한다. 하지만 조건에 따라 i-j가 p보다 클 수 없다 (i-j &x3C;

근과 계수의 관계

비에트의 정리는 다항식의 계수와 근 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 16세기 프랑스 수학자 프랑수아 비에트(François Viète)가 발견했으며, 근과 계수의 관계라고도 불린다. 2차 방정식 2차 방정식 ax^2+bx+c = 0의 두 근을 α, β라고 할 때, 다음 관계가 성립한다: 근의 합: α + β = -b/a 근의 곱: α · β = c/a 유도 2차 방정식의 경우, 근의 공식으로부터 직접 유도할 수 있다: α = (-b + √(b²-4ac))/2a, β = (-b √(b²-4ac))/2a일 때: α+β = (-b + √(b²-4ac))/2a + (-b √(b²-4ac))/2a = -2b/2a = -b/a α·β = [(-b + √(b²-4ac))/2a] · [(-b √

y^2 = x^3 + ax + b 그래프가 타원 모양은 아니고, 타원의 호 길이를 구하는 타원 적분의 역함수에서 나타나는 형태라 타원 곡선으로 불린다. 타원 곡선에서 점 덧셈: 곡선 위의 두 점에 대해 어떤 연산을 거쳐 곡선에 존재하는 제 3의 점을 얻는 과정 일반 덧셈 연산과 유사한 몇 가지 성질을 만족한다. 항등원 존재 (I + A = A가 되는 점 I, 무한원점이라 부름) 역원 존재 (A + (-A) = I임) 교환법칙 성립 결합법칙 성립 점 덧셈 공식 타원곡선 위의 두 점 P₁(x₁, y₁)과 P₂(x₂, y₂)에 대한 덧셈 P₃ = P₁ + P₂는 다음과 같이 계산된다. 경우 1: P₁ ≠ P₂인 경우 (점 덧셈) 결과 좌표 x₃ = s² x₁ x₂y₃ = s(x₁ x₃)

미분은 함수의 순간 변화율을 극한 개념을 통해 정의한다. 함수 f(x)의 도함수 f’(x)는 다음과 같이 정의된다: f'(x) = lim[h→0] (f(x+h) f(x)) / horf'(x) = lim[Δx→0] (f(x+Δx) f(x)) / Δx h 또는 Δx: x의 순간변화율(미소변화량) f(x+h) f(x): 함수값의 변화량 분수 전체: 평균 변화율 극한: h가 0에 가까워질 때의 순간 변화율 Leibniz 표기법 dy/dx: y변화량/x변화량 dy와 dx를 각각 따로 떼어낼 수 없다. dy/dx = lim[Δx→0] Δy/Δx 극한값 (하나의 수)≠ dy ÷ dx 두 값의 나눗셈 (아님!) d/dx: x에 대해 미분하라는 기호 마

체 (Field): 덧셈과 곱셈이 정의된 집합으로, 다음과 같은 10가지 조건을 모두 만족하는 대수적 구조를 말한다. 가장 간단한 체의 예시로는 유리수의 집합 ℚ, 실수의 집합 ℝ, 복소수의 집합 ℂ가 있다. 반면 정수의 집합 ℤ나 자연수의 집합 ℕ은 체가 아니다. 어떤 집합 F가 체가 되기 위한 조건 덧셈 집합 F 안의 임의의 두 원소 a와 b를 더하면, 그 결과인 a + b도 반드시 F 안에 있어야 한다. (덧셈에 대한 닫힘성) 세 원소 a, b, c를 어떤 순서로 묶어서 더하더라도 결과가 같아야 한다. 즉, (a+b)+c = a+(b+c)이다. (덧셈의 결합법칙) 두 원소를 더하는 순서를 바꿔도 결과가 같아야 한다. 즉, a+b = b+a이다. (덧셈의 교환법칙) 어떤 원소 a에 더해도

기본 공식 완전제곱식 (a±b)² = a² ± 2ab + b² 합차공식 (a+b)(a-b) = a² b² 일반공식 (x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab (ax+b)(cx+d) = acx² + (ad+bc)x + bd 특수 공식 x² + 1/x² = (x + 1/x)² 2 (단, x ≠ 0) x² + 1/x² = (x 1/x)² + 2 (단, x ≠ 0) 3차 공식 삼항 전개 (x+a)(x+b)(x+c) = x³ + (a+b+c)x² + (ab+bc+ca)x + abc (a+b+c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca 3차 이항정리 (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (a-b)³ = a³ 3a²b + 3ab² b³ 합차의 세제곱

검정 통계량 통계적 가설의 진위를 검정하기 위해 표본으로부터 계산하는 통계량이다. t-value, F-value, z-value 등이 바로 검정 통계량이다. 쉽게 말해, 표본 데이터를 이용해 세운 가설이 맞는지를 판단할 수 있는 도구라고 할 수 있다. t-value의 의미 t-value는 두 표본 집단의 차이를 평균을 중심으로 비교하며, 이를 불확실도로 나누어 계산한다. 이 값은 차이가 클수록, 불확실도가 작을수록 커지며, 통계적으로 유의미한 차이가 있음을 의미한다. t-value의 수학적 정의 두 집단의 평균 차이: ( \bar{X}_1 \bar{X}_2 ) 두 집단 평균 차이의 불확실도(표준 오차): ( s_{\bar{X}_1 \bar{X}_2} = \sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n

윌콕슨 순위합 검정

Frank Wilcoxon에 의해 고안된 윌콕슨 순위합 검정은 두 그룹 사이의 중앙값 차이를 비교하는 비모수 검정이다. 데이터가 정규분포를 따르지 않거나 이상치의 영향을 많이 받을 때 적합하다. t-검정과 다르게 데이터 분포에 덜 민감하다. 간단하면서도 효과적으로 두 그룹 간의 차이를 확인할 수 있는 방법이지만, 패턴을 충분히 반영하지 못할 가능성도 있기 때문에 다른 검정과 함께 고려하는 것이 좋다. 비모수 검정 데이터 분석에서는 다양한 통계 기법이 사용되는데, 그 중에서도 비모수(non-parametric) 통계 기법은 유연함과 실용성 면에서 큰 장점을 지닌다. 비모수 검정에선 데이터를 다룰 때 평균이 아닌 중앙값에 초점을 맞춘다. 정규성 가정을 하지 않아 다양하고 복잡한 데이터에 적합하다. 비슷한