Skip to content
Beside the Wheel

체

수학
대수학

  • 체 (Field): 덧셈과 곱셈이 정의된 집합으로, 다음과 같은 10가지 조건을 모두 만족하는 대수적 구조를 말한다.

    • 가장 간단한 체의 예시로는 유리수의 집합 ℚ, 실수의 집합 ℝ, 복소수의 집합 ℂ가 있다. 반면 정수의 집합 ℤ나 자연수의 집합 ℕ은 체가 아니다.

  • 어떤 집합 F가 체가 되기 위한 조건

    • 덧셈
      1. 집합 F 안의 임의의 두 원소 a와 b를 더하면, 그 결과인 a + b도 반드시 F 안에 있어야 한다. (덧셈에 대한 닫힘성)
      2. 세 원소 a, b, c를 어떤 순서로 묶어서 더하더라도 결과가 같아야 한다. 즉, (a+b)+c = a+(b+c)이다. (덧셈의 결합법칙)
      3. 두 원소를 더하는 순서를 바꿔도 결과가 같아야 한다. 즉, a+b = b+a이다. (덧셈의 교환법칙)
      4. 어떤 원소 a에 더해도 a 그대로인 원소가 F 안에 존재해야 한다. 이를 보통 0으로 표기한다. (덧셈 항등원의 존재)
      5. 집합의 모든 원소 a에 대해, a와 더했을 때 0이 되는 원소 -a가 F 안에 존재해야 한다. 즉, a+(-a) = (-a)+a = 0이다. (덧셈 역원의 존재)
    • 곱셈 6. 집합 F 안의 임의의 두 원소 a와 b를 곱하면, 그 결과인 a×b도 반드시 F 안에 있어야 한다. (곱셈에 대한 닫힘성) 7. 세 원소 a, b, c를 어떤 순서로 묶어서 곱하더라도 결과가 같아야 한다. 즉, (a×b)×c = a×(b×c)이다. (곱셈의 결합법칙) 8. 두 원소를 곱하는 순서를 바꿔도 결과가 같아야 한다. 즉, a×b = b×a이다. (곱셈의 교환법칙) 9. 어떤 원소 a에 곱해도 a 그대로인 원소가 F 안에 존재해야 한다. 이를 보통 1로 표기한다. (곱셈 항등원의 존재) 10. 0이 아닌 집합의 모든 원소 a에 대해, a와 곱했을 때 1이 되는 원소 a⁻¹이 F 안에 존재해야 한다. (곱셈 역원의 존재)

  • 유한체 (Finite Field): 유한개 원소를 가진 체, 갈루아 체(Galois Field)라고도 함

기호

  • q : 위수 (Order, 유한체 내 원소의 개수)
  • p : 표수 (Characteristic), 때론 기수(base)라고도 함
    • 유한체는 항상 양의 표수 p를 가짐
    • p가 소수이면 소수체(Prime Field)라고 함
  • GF(q) 또는 F_q : 위수 q를 갖는 유한체

성질

  • 집합의 위수가 p이면 집합의 원소는 { 0, 1, 2, 3, ..., p-1 }로 쓸 수 있다.

  • 그리고, 여기서 덧셈을 나머지 연산으로 정의하면 덧셈이 닫혀있게 된다.

    • a + fb = (a + b) % 19
    • 이 방식으로 뺄셈, 곱셈을 동일하게 정의할 수 있다.
    • 소수이거나 소수의 거듭제곱을 위수로 가진 유한체는, 0이 아닌 원소 k로 전체 집합을 곱할 때 다시 원래 집합이 된다

  • 나눗셈은 곱셈의 역연산이지만, 재정의한 곱셈의 특징을 고려하기 때문에 일반 대수에서의 계산과 다르다.

    • 3 * f7 = 21 % 19 = 2이므로, 2/f7 = 3이다.
    • 9 * f5 = 45 % 19 = 7이므로, 7/f5 = 9이다.

  • 페르마의 소정리

    • 소수인 p와 0보다 큰 n에 대해 n^{p-1} % p = 1이다.

  • 나눗셈은 곱셈의 역연산이기에 다음처럼 쓸 수 있다.

    • a/b = a*b^{-1}
    • 페르마의 소정리에 따르면, b^{p-1} = 1이고
    • p는 소수이므로 b^{-1} = b^{-1}*1 = b^{-1}*b^{p-1} = b^{p-2}이다.
    • 유한체 F19에서 0이 아닌 모든 원소 b에 대해 b^18 = 1을 의미하므로 b^{-1} = b^17을 의미한다.
    • 따라서 어떤 원소 b의 역원 b^{-1}는 거듭제곱을 통해 계산할 수 있다.
      • 2/7 = 2 * 7^{19-2} = 465261027974414%19 = 3
      • 7/5 = 7 * 5^{19-2} = 5340576171875%19 = 9

참고

관련글
springSpring 6.0과 Spring Boot 3.0wastomcat 구성요소was웹서버와 WAS대수학타원곡선통계학t-value통계학윌콕슨 순위합 검정