태그: 대수학

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타원곡선

대수학

2025. 10. 3.

y^2 = x^3 + ax + b 그래프가 타원 모양은 아니고, 타원의 호 길이를 구하는 타원 적분의 역함수에서 나타나는 형태라 타원 곡선으로 불린다. 타원 곡선에서 점 덧셈: 곡선 위의 두 점에 대해 어떤 연산을 거쳐 곡선에 존재하는 제 3의 점을 얻는 과정 일반 덧셈 연산과 유사한 몇 가지 성질을 만족한다. 항등원 존재 (I + A = A가 되는 점 I, 무한원점이라 부름) 역원 존재 (A + (-A) = I임) 교환법칙 성립 결합법칙 성립 점 덧셈 공식 타원곡선 위의 두 점 P₁(x₁, y₁)과 P₂(x₂, y₂)에 대한 덧셈 P₃ = P₁ + P₂는 다음과 같이 계산된다. 경우 1: P₁ ≠ P₂인 경우 (점 덧셈) 결과 좌표 x₃ = s² x₁ x₂y₃ = s(x₁ x₃)

체

대수학

2025. 10. 2.

체 (Field): 덧셈과 곱셈이 정의된 집합으로, 다음과 같은 10가지 조건을 모두 만족하는 대수적 구조를 말한다. 가장 간단한 체의 예시로는 유리수의 집합 ℚ, 실수의 집합 ℝ, 복소수의 집합 ℂ가 있다. 반면 정수의 집합 ℤ나 자연수의 집합 ℕ은 체가 아니다. 어떤 집합 F가 체가 되기 위한 조건 덧셈 집합 F 안의 임의의 두 원소 a와 b를 더하면, 그 결과인 a + b도 반드시 F 안에 있어야 한다. (덧셈에 대한 닫힘성) 세 원소 a, b, c를 어떤 순서로 묶어서 더하더라도 결과가 같아야 한다. 즉, (a+b)+c = a+(b+c)이다. (덧셈의 결합법칙) 두 원소를 더하는 순서를 바꿔도 결과가 같아야 한다. 즉, a+b = b+a이다. (덧셈의 교환법칙) 어떤 원소 a에 더해도