근과 계수의 관계

• 비에트의 정리는 다항식의 계수와 근 사이의 관계를 나타내는 정리이다.
• 16세기 프랑스 수학자 프랑수아 비에트(François Viète)가 발견했으며, 근과 계수의 관계라고도 불린다.

2차 방정식

2차 방정식 ax^2+bx+c = 0의 두 근을 α, β라고 할 때, 다음 관계가 성립한다:

• 근의 합: α + β = -b/a
• 근의 곱: α · β = c/a

유도

2차 방정식의 경우, 근의 공식으로부터 직접 유도할 수 있다:

α = (-b + √(b²-4ac))/2a, β = (-b - √(b²-4ac))/2a일 때:

α+β = (-b + √(b²-4ac))/2a + (-b - √(b²-4ac))/2a
      = -2b/2a
      = -b/a

α·β = [(-b + √(b²-4ac))/2a] · [(-b - √(b²-4ac))/2a]
      = [b² - (b²-4ac)] / 4a²
      = 4ac / 4a²
      = c/a

3차 방정식

3차 방정식 ax³+bx²+cx+d = 0의 세 근을 α, β, γ라고 할 때:

• 근의 합: α+β+γ = -b/a
• 근의 곱의 합: αβ+βγ+γα = c/a
• 근의 곱: α·β·γ = -d/a

유도

• 3차 방정식을 인수분해 형태로 나타내면:

  a(x-α)(x-β)(x-γ) = 0

• 이를 전개하면:

  a(x - α)(x - β)(x - γ)
  = a[(x - α)(x² - (β+γ)x + βγ)]
  = a[x³ - (β+γ)x² + βγx - αx² + α(β+γ)x - αβγ]
  = a[x³ - (α+β+γ)x² + (αβ+βγ+γα)x - αβγ]
  = ax³ - a(α+β+γ)x² + a(αβ+βγ+γα)x - aαβγ

• 이를 ax³ + bx² + cx + d = 0과 계수를 비교하면:

  x² 계수: -a(α+β+γ) = b  →  α+β+γ = -b/a
  x¹ 계수: a(αβ+βγ+γα) = c  →  αβ+βγ+γα = c/a
  x⁰ 계수: -aαβγ = d  →  αβγ = -d/a

n차 방정식의 일반화

대칭 다항식의 기본 정리와 관련되었다고 함

n차 다항식 aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ⋯ + a₁x + a₀ = 0의 n개의 근을 r₁, r₂, …, rₙ이라 할 때:

• Σrᵢ = -aₙ₋₁/aₙ (근의 합)
• Σrᵢrⱼ (i<j) = aₙ₋₂/aₙ (근의 쌍곱의 합)
• ⋯
• Πrᵢ = (-1)ⁿ · a₀/aₙ (근의 곱)

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참고

• https://en.wikipedia.org/wiki/Vieta%27s_formulas
• https://brilliant.org/wiki/vietas-formula